driftsfunktioner

Driftsfunktioner är ett begrepp inom sannolikhetsteori och stokastiska processer som beskriver den deterministiska delen av en processes evolution. I kontinuerliga diffusionsmodeller skrivs en process ofta som dX_t = a(X_t) dt + b(X_t) dW_t, där a(x) är driftsfunktionen och b(x) diffusionsfunktionen. Driftsfunktionen anger den förväntade förändringen av tillståndet per tidsenhet i det tillstånd x. Den återspeglar där processens medelriktning styrs av deterministiska krafter, i kontrast till slumpmomentet som fångas upp av b(x) och Wiener-processen W_t.

I diskreta tidssteg används ofta närmeelsen E[X_{t+Δ} - X_t | X_t = x] ≈ μ(x) Δ, där μ(x) kallas driftsfunktionen. Den beskriver den genomsnittliga förändringen per tidsenhet vid tillståndet x.

Betydelse och egenskaper: Driftsfunktionen påverkar stabilitet, attraktorer och långsiktigt beteende hos systemet. Olika former av a(x) kan leda till olika dynamiska mönster, från att driva systemet mot ett fast tillstånd till att ge upphov till mer komplexa beteenden. Vanliga exempel är Ornstein–Uhlenbeck-driften a(x) = θ(μ − x) och logistisk drift a(x) = r x (1 − x/K).

Estimering och analys: Driftsfunktionen kan skattas från data genom lokala medelvärden, parametrisering av a(x) och maximum likelihood i stokastiska modeller. Matematiska krav som Lipschitzförbättradhet gör att lösningar till motsvarande stokastiska differentialekvationer är välbestämda.

Användningsområden: Driftsfunktioner används inom finansiell matematik, fysiska modeller, biologi och teknik där man vill fånga deterministiska tendenser i stokastiska system.