dotproducten

Het dotproduct van twee vectoren is een maat voor de mate waarin de vectoren in dezelfde richting wijzen. Voor twee reële n-dimensionale vectoren a = (a1, …, an) en b = (b1, …, bn) wordt het vaak geschreven als a · b of ⟨a,b⟩ en berekend als de som van de producten van bijbehorende componenten: a · b = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn. In de Euclidische ruimte R^n is dit de standaard definitie, terwijl het ook geldt als inner product in bredere vectorruimten.

Geometrisch gezien relateert het dotproduct aan de lengte van de vectoren en de hoek daartussen: a · b = ||a|| ||b|| cos θ, waarbij θ de hoek tussen a en b is. Daardoor is a inwendig orthogonal ten opzichte van b wanneer a · b = 0. De norm van a is ||a|| = sqrt(a · a).

Het dotproduct is bilineair en symmetrisch: a · (α b + β c) = α(a · b) + β(a · c) en (a + b) · c = a · c + b · c, met a · b = b · a. Het is ook positief-definiet: a · a ≥ 0, met gelijkheid alleen als a = 0. Het is tevens het basisinproduct van R^n.

Een belangrijke toepassing is de projectie van een vector a op een vector b: proj_b(a) = ((a · b)/(b · b)) b. De Cauchy-Schwarz-ongelijkheid stelt dat |a · b| ≤ ||a|| ||b||, met gelijkheid als de vectoren lijnrecht parallel zijn. Dit onderstreept de interpretatie van het dotproduct als maat voor overeenkomst in richting.

Toepassingen strekken zich uit van wiskunde en natuurkunde tot informatica en datawetenschap: work done in fysica is F · d, cosine similarity in data-analyse, Gram-Schmidt-orthonormalisatie en de minste-kwadraat-methode in lineaire regressie. Naast de standaard Euclidische ruimte geldt het dotproduct ook als concretisering van een algemeen inwendig product op vectorruimten.