diskontinuitas

Diskontinuitas adalah kondisi pada suatu fungsi atau hubungan matematika di mana sifat kelanjutan tidak terpenuhi di suatu titik. Secara formal, sebuah fungsi f didefinisikan pada suatu interval, dan f tidak kontinu di titik c jika limit f(x) saat x mendekati c tidak ada atau tidak sama dengan nilai f(c). Diskontinuitas dapat diklasifikasikan menurut perilaku limit di sekitar titik tersebut.

Jenis utama diskontinuitas meliputi:

- Diskontinuitas removable (dapat dihapus): limit f(x) saat x→c ada dan bernilai L, tetapi f(c) tidak sama dengan L atau c tidak termasuk dalam domain. Diskontinuitas ini dapat dihapus dengan mendefinisikan ulang f(c) = L. Contoh: f(x) = (x^2−1)/(x−1) untuk x ≠ 1; limit saat x→1 adalah 2, sehingga jika f(1) tidak ada atau f(1) ≠ 2, diskontinuitas bersifat removable.

- Diskontinuitas lompatan (jump): limit kiri dan kanan ada tetapi tidak sama. Misalnya f(x) = floor(x) memiliki nilai yang berbeda ketika mendekati suatu bilangan bulat dari kiri maupun kanan.

- Diskontinuitas tak terhingga: salah satu limit sisi menuju tak terhingga, misalnya f(x) = 1/x di sekitar x = 0.

- Diskontinuitas osilatori: limit tidak ada karena osilasi yang tidak terkontrol, misalnya f(x) = sin(1/x) saat x→0.

Dampak diskontinuitas mencakup detil sifat analitis fungsi, seperti kelayakan Riemann integrasi dan kelayakan diferensiasi di sekitar titik tersebut. Secara umum, jumlah titik diskontinuitas yang relatif kecil sering tidak menghalangi beberapa sifat analitis, tetapi diskontinuitas dapat mempengaruhi perilaku fungsi secara signifikan.