differentiationen

Differentieringen, eller differentiation, är en central aktivitet inom kalkylen som beskriver hur en funktion f förändras när dess oberoende variabel x ändras. Den är kopplad till den momentana förändringshastigheten och ger lutningen hos tangentlinjen till kurvan y=f(x) i en given punkt. Den matematiska definitionen vid en punkt x är f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h) - f(x)) / h, förutsatt att gränsen existerar. Funktionen är differentiell i x när gränsen existerar.

Notation och geometrisk tolkning: Derivatan skrivs ofta som f'(x) eller df/dx. Den anger hur mycket f ändras när x förändras med ett mycket litet steg. För funktioner av flera variabler används partiella derivator ∂f/∂xi och gradienten ∇f; Jacobianer beskriver hur en vektor av funktioner förändras. I flerskikiga sammanhang ger differentialen en lokalt linjär approximation av funktionens förändring.

Regler: Differentiationsreglerna inkluderar linjäritet (derivatan av en konstant är noll och derivatan av en konstant multiplicerat med en funktion är konstanten multiplicerat med derivatan), produktregelen, kvotregeln och kedjeregeln. Vissa funktioner har högre ordningens derivatorer som f''(x). Vid funktioner av flera variabler används även Hessianmatrisen för andra ordningens derivator.

Differentialer och totala differentialer: Differentialen df = f'(x) dx representerar förändringen i f för små förändringar i x. För flervariabla funktioner används den totala differentialen df ≈ ∑ ∂f/∂xi dxi som ger en lokalt linjär approximation.

Användningar och historia: Differentiationen används inom fysik, teknik, ekonomi, biologi och statistik för att modellera hastigheter, accelerationskomponenter, optimering och kurvor. Historiskt bidrog forskare som Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz till utvecklingen av metoden och dess symboliska notation.