produktregelen

Produktregelen, eller produktregelen for derivasjon, er en grunnregel i kalkulus som gir differensialet til produktet av to differensierbare funksjoner. Hvis f og g er definert og differensierbare på et intervall, så er (fg)' = f'g + fg'.

Intuitiv forklaring: når man endrer x litt, endres både f og g. Endringen i produktet kan tilskrives endringen i f mens g holdes fast, pluss endringen i g mens f holdes fast. Dette gir summen av de to produktene f' g og f g'.

Bevisskisse: bruk grenseverdi: (f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)) / h; dekomponer til (f(x+h) - f(x)) g(x) / h + f(x+h) (g(x+h) - g(x)) / h, og ta grense når h→0; få f'(x) g(x) + f(x) g'(x).

Eksempel: la f(x) = x^2, g(x) = sin x. Da (fg)' = 2x sin x + x^2 cos x.

Generaliseringer: for produkt av n funksjoner f1, ..., fn er (d/dx) ∏ fi = sum_i (f1 ... fi' ... fn). Produktregelen ledsages ofte av kjerneregelen når man har sammensatte funksjoner.

Historie: kjent som Leibniz' produktregel; trolig oppdaget av Gottfried Wilhelm Leibniz i 17. århundre.