dichtheidspunt

Dichtheidspunt is een begrip uit de maatkunde (Lebesgue-meting) en verwijst naar een punt x in R^n waarbij de lokale dichtheid van een meetbare verzameling E zo dicht mogelijk bij 1 ligt. Formeel: x is een dichtheidspunt van E als limiet_{r→0} μ(E ∩ B(x,r)) / μ(B(x,r)) = 1, waarbij μ de Lebesgue-meting is en B(x,r) de bol met middelpunt x en straal r betreft.

De belangrijkste eigenschap wordt samengevat door de Lebesgue-dichtheidstelling: voor elke meetbare verzameling E ⊂ R^n geldt dat bijna elke x ∈ E een dichtheidspunt van E is, en bijna elke x ∈ E^c een dichtheidspunt van E^c. Concreet betekent dit dat E op bijna alle punten van E lokaal volledig aanwezig is, terwijl dit op bijna alle punten van het complement niet het geval is.

Intuïtief houdt dit in dat bij een dichtheidspunt de verhouding μ(E ∩ B(x,r)) / μ(B(x,r)) steeds dichter bij 1 ligt naarmate r kleiner wordt; bij een dichtheidspunt van het complement ligt de verhouding steeds dichter bij 0. Voor een open interval E = (a,b) in R zijn bijvoorbeeld alle x ∈ (a,b) dichtheidspunten van E (dichtheid 1), terwijl x buiten E dichtheidspunt 0 is en de grenspunten a en b dichtheid 1/2 hebben.

Verwante concepten zijn onder meer de indicatorfunctie χ_E, waarbij op dichtheidspunten van E de limiet van de gemiddelde waarden 1 is en op dichtheidspunten van E^c de limiet 0; en de Lebesgue-differentiatie-theorema dat geldt voor integrabele functies. De verzameling van dichtheidspunten kan nuttig zijn bij analyse en differentiatie van functies op meetbare sets.