diagonalisierte

Diagonalisierte, in der linearen Algebra auch als diagonalisiert bezeichnet, beschreibt eine quadratische Matrix A, die sich durch eine invertierbare Matrix P so verwandeln lässt, dass P^{-1} A P eine Diagonalmatrix D ist. Die Spalten von P können Wahl frei als Eigenvektoren von A gewählt werden, und die Diagonaleneinträge von D entsprechen den zugehörigen Eigenwerten von A.

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie über einem gegebenen Feld F eine Basis aus Eigenvektoren besitzt, das heißt, A besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren im n-dimensionalen Raum. Entsprechend existiert eine invertierbare P mit P^{-1} A P = D, wobei D eine Diagonal matrix mit den Eigenwerten von A auf der Diagonalen ist. Charakteristisch ist, dass die geometrische Multiplizität jedes Eigenwerts gleich seiner algebraischen Multiplizität sein muss. Über dem Körper der Grundwerte gilt auch die Äquivalenz, dass der Minimalpolynom von A keine wiederholten Nullstellen besitzt.

Vorteile einer Diagonalisierung ergeben sich vor allem für Berechnungen von Potenzen oder Funktionen von Matrizen, denn A^k = P D^k P^{-1}, und D^k ist einfach zu berechnen. Ob eine Matrix diagonalisierbar ist, hängt vom Feld ab: A kann über C diagonalisierbar sein, auch wenn sie über R nicht diagonalisiert werden kann, falls einige Eigenwerte komplex sind.

Nicht alle Matrizen sind diagonalisierbar. Beispiele zeigen, dass eine Matrix mit wiederholten Eigenwerten oft nicht genügend unabhängige Eigenvektoren besitzt. In solchen Fällen ist häufig die Jordansche Normalform die passende Alternative.