diagonais

Diagonais são termos usados em várias áreas da matemática para descrever segmentos que ligam dois pontos de interesse sem serem adjacentes em uma figura. Em geometria euclidiana, uma diagonal de um polígono é o segmento que conecta dois vértices não vizinhos; em um poliedro, é o segmento que conecta dois vértices que não compartilham uma aresta. Em álgebra linear, a diagonal refere-se aos elementos de uma matriz que satisfazem linhas iguais às colunas (a linha i e a coluna i).

Em polígonos, o número de diagonais de um polígono simples com n vértices é dado por n(n-3)/2. Se o polígono é convexo, todas as diagonais estão contidas no interior; em polígonos não convexos, algumas diagonais podem traçar-se fora do contorno. Em polígonos regulares, as diagonais podem ter comprimentos diferentes; por exemplo, em um pentágono regular existem diagonais de duas classes de comprimento, com uma razão relacionadas ao período áureo.

Diagonais de espaço referem-se a ligações entre vértices não adjacentes de um sólido. Em uma caixa retangular com arestas a, b e c, a diagonal espacial tem comprimento sqrt(a^2 + b^2 + c^2). Em poliedros mais complexos, as diagonais ajudam a entender a estrutura interna e a distância entre vértices opostos.

Na álgebra linear, a diagonal principal de uma matriz contém os elementos aii; a diagonal secundária ou anti-diagonal contém os elementos a i, n+1−i. Matrizes diagonais têm apenas os elementos da diagonal principal não nulos fora da diagonal, o que simplifica operações como determinantes e traços. As diagonais aparecem em áreas como geometria, desenho computacional, física e teoria de grafos.