deformasjonsteori

Deformasjonsteori er en gren av matematikk som studerer hvordan matematiske objekter oppfører seg under små forandringer og i familier som er parameterisert av en base. Eksempler inkluderer deformasjoner av algebraiske varianter, komplekse mangfoldigheter og koherente skiver. Hovedmålet er å beskrive hvilke deformasjoner som finnes, hvordan de henger sammen i familier, og hvilke hindringer som oppstår når man forsøker å glide over eller sammenligne forskjellige deformasjonsfamilier. Den formelle tilnærmingen bruker ofte en deformasjonsfunktor Def_X som til hver lokal Artin-base gir mengden av deformasjoner av X over basen, modulo isomorfi.

Historisk stammer deformasjonsteori fra arbeidet til Kodaira og Spencer med deformasjoner av komplekse mangfoldigheter, og ble senere utviklet i algebraisk geometri gjennom Grothendieck og hans samarbeidspartnere. Schlessingers kriterier fra 1960-årene gir nødvendige og tilstrekkelige betingelser for når slike deformasjonsfunktorer kan representeres av en base (eller være miniversal/versal). Den funktorbaserte tilnærmingen gjør det mulig å studere deformasjonsproblemer samlet og å forstå lokale modulrom som klassiske modulirom.

Den grunnleggende algebraiske koblingen er at tangentrommet til Def_X ved utgangspunktet ofte er Ext^1(Ω^1_{X/k}, O_X) (for et skjema X over k), mens obstruksjonene ligger i Ext^2. For komplekse mangfoldigheter tilsvarer dette ofte H^1(T_X) som tangentrom, og obstruksjoner i H^2. En miniversal (eller versal) base gir en lokal modell for alle små deformasjoner av X.

Objekter som studeres inkluderer deformasjoner av skjemaer/varianter, komplekse mangfoldigheter og koherente skiver. De viktigste anvendelsene er konstruksjon av modulirom, studier av smoothing av singulariteter og, i moderne perspektiv, utviklingen av derived deformation theory og DG-Lie-algebraer.