deformasjonsfunktor

Deformasjonsfunktor, eller deformasjonsfunktor, er et sentralt begrep i deformasjonsteori innen algebraisk geometri. For et fast objekt X over feltet k defineres Def_X som en funktor fra kategorien av lokale Artin-algebraker med residuefelt k til sett, ved at Def_X(A) er mengden av isomorfe deformasjoner av X over A. En deformasjon av X over A består av en flat morfisme X_A → Spec A og en identifikasjon av den spesialfiber X_A ×_{Spec A} Spec k med X.

Tangentrommet til Def_X ved k er Def_X(k[ε]/(ε^2)), og dette rommet er vanligvis isomorf med Ext^1(Ω^1_{X/k}, O_X) eller, for X glatt, med H^1(X, T_X). Obstruksjonene til å utvide en deformasjon ligger i Ext^2(Ω^1_{X/k}, O_X).

Schlessingers kriterier angir når Def_X er pro-representert. Under tilfredsstillende forhold finnes en komplett lokal k-algebra R og en familie X_R → Spec R som er miniversal for Def_X; eventuelle deformasjoner er lokalt utledet fra baseforlengelser langs R. Hvis X er uobstruert, er Def_X glatt.

Når X er en kompleks variasjon eller et mangfold, gir deformasjonsfunktoren innsikt i det lokale deformasjonsrommet, og Kodaira–Spencer-teoremet kobler tangentrommet til H^1(X, T_X). Deformasjonsfunktorer kan også defineres for andre objekter som par (X, L), morfisms eller komplekser, og de gir en strukturert måte å studere små endringer av matematiske objekter.