deelreeks

Een deelreeks, ook wel subsequence genoemd, is een rij die uit een oorspronkelijke rij is verkregen door selectie van elementen met een strikt toenemende volgorde van indices. Formeel: als (a_n) een rij is, dan is (b_k) met b_k = a_{n_k} een deelreeks, waarbij n_1 < n_2 < ... . Een deelreeks kan eindig zijn (als je slechts een eindig aantal elementen kiest) of oneindig, afhankelijk van de gekozen indices.

Voorbeelden: uit de rij a_n = n verkrijgt men met n_k = 2k een deelreeks b_k = 2k; met n_k = 2k-1 verkrijgt men b_k = 2k-1.

Belangrijke eigenschap: als a_n convergeert naar L, dan convergeert elke deelreeks b_k naar dezelfde limiet L. Omgekeerd kan een rij zonder limiet wel meerdere verschillende convergente deelreeksen bevatten (bijv. a_n = (-1)^n heeft deelreeksen die naar 1 en -1 gaan).

Er bestaan ook belangrijke resultaten over bestaan en grenzen: in de reële getallen geldt Bolzano-Weierstrass dat elke begrensde rij een convergeerde deelreeks heeft.

Notatie: vaak wordt n_k gebruikt als een strikt stijgende rij van natuurlijke getallen; b_k = a_{n_k} is de bijbehorende deelreeks. Deelreeksen spelen een centrale rol bij de studie van limieten en convergentie in analyse, omdat ze toelaten om uit een onrustige rij stabielere gedragspatronen te extraheren en te analyseren.