coproducto

En teoría de categorías, un coproducto de una familia de objetos {A_i} en una categoría C es un objeto A junto con morfismos i_i: A_i → A tales que para toda elección de morfismos f_i: A_i → B existe un único morfismo f: A → B con f ∘ i_i = f_i. El objeto A se llama el coproducto de {A_i}, y se denota habitualmente como A_1 ⊔ A_2 ⊔ ...; para dos objetos, A ⊔ B o A ⊕ B.

Es la noción dual al producto; es decir, es el colímit de un diagrama discreto. En categorías con productos y coproductos, las operaciones de suma o unión se generalizan por medio de estos conceptos, pero el coproducto se entiende por su universalidad, no como una operación interna definida objeto a objeto.

Ejemplos: en la categoría de conjuntos, el coproducto de A y B es la unión disjunta A ⊔ B. En la categoría de grupos, el coproducto de G y H es el producto libre G H; para grupos abelianos o módulos, el coproducto es la suma directa G ⊕ H o M ⊕ N. En la categoría de vectores sobre un cuerpo, el coproducto de V y W es su suma directa. Los coproductos pueden extenderse a familias arbitrarias de objetos y existen en categorías bien conocidas como Set, Grp, Ab y Mod_R.

Existencia y propiedades: muchos contextos algebraicos y de conjuntos tienen coproductos para cualquier familia; otros entornos requieren condiciones o solo ofrecen coproductos finitos. Los coproductos son colímites, por lo que se preservan por funtores que son izquierdos (left adjoints) y son únicos up to isomorfismo.