collineación

La collineación es la propiedad de que un conjunto de puntos pertenece a la misma recta. En el plano, basta con dos puntos para definir una recta; un tercer punto es colineal si pertenece a esa recta.

Criterios de collineación: para tres puntos A(x1,y1), B(x2,y2) y C(x3,y3) se dice que son colineales si (x2−x1)(y3−y1) = (y2−y1)(x3−x1). Equivalente, el determinante det[[x1,y1,1],[x2,y2,1],[x3,y3,1]] es cero. En el espacio tridimensional, los puntos son colineales si los vectores AB y AC son linealmente dependientes (el producto vectorial AB × AC es nulo).

Métodos de verificación: comparar las pendientes de AB y AC (cuando no hay verticalidad), calcular el área del triángulo ABC (debe ser cero) o usar el determinante anterior.

Ejemplos: A(0,0), B(1,1), C(2,2) son colineales. A(0,0), B(1,0), C(0,1) no lo son.

Aplicaciones: en geometría y gráficos por computadora para detectar alineaciones; en topografía e ingeniería para verificar orientaciones; en astronomía, la collineación describe el alineamiento aparente de cuerpos celestes, como el Sol, la Luna y la Tierra durante eclipses. También aparece en contextos de diseño y registro de datos para identificar puntos que caen a lo largo de una recta común.

Notas: la collineación puede incluir puntos coincidentes; si dos puntos coinciden, el tercer punto se considera colineal si pertenece a la recta definida por los dos puntos distintos.