binnenproduct

Het binnenproduct, ook wel innerlijk product of scalar product genoemd, definieert een manier om twee vectoren van een vectorruimte met elkaar te verbinden tot een scalair getal. Voor een reële vectorruimte V met <·,·> gelden de volgende axioma’s: bilineariteit (<ax+by,z>=a< x,z>+b< y,z>, en vergelijkbaar in de tweede variabele), symmetrie (<x,y>=<y,x>), en positieve definitie (<x,x>>=0 en <x,x>=0 iff x=0). In complexe ruimtes is het binnenproduct meestal sesquilineair: linear in één argument en sterk in het andere, met <x,y>=conj(<y,x>).

Het binnenproduct induceert een norm via ||x|| = sqrt(<x,x>). Hiermee ontstaat een metriek: d(x,y)=||x−y||. In R^n is het standaardbinnenproduct <x,y> = ∑_i x_i y_i, met de Euclidische norm ||x|| = sqrt(∑ x_i^2).

Belangrijke eigenschappen: de Cauchy–Schwarz ongelijkheid |<x,y>| ≤ ||x|| ||y||. De hoek tussen x en y volgt uit cos θ = <x,y> / (||x|| ||y||). Vectoren x en y zijn orthogonaal als <x,y>=0. Het binnenproduct maakt projectie en orthogonalisatie mogelijk (bijv. Gram–Schmidt), en levert de Gram-matrix en lineaire onafhankelijkheid aan.

Algemene structuur: een vectorruimte met een binnenproduct wordt een innerlijke ruimte genoemd; als deze volledig is, noemt men het een Hilbertruimte. Toepassingen vinden we in meetkunde, lineaire algebra (projecties, orthonormalisatie), Fourieranalyse, signaalverwerking en machine learning (kernmethoden).