bakåtdifferensiering

Bakåtdifferensiering, eller backward differentiation, är en metod inom numerisk analys som använder data från nuvarande och tidigare punkter i ett lika uppdelat grid för att approximera derivator. Den är särskilt användbar när stabilitet och realtidsanpassning är viktigt, eftersom den bygger på tidigare värden och ofta är robust motstökiga beteenden i data.

Den enklaste formen är den första ordningens bakåtdifferens: f'(x_i) ≈ (f(x_i) - f(x_{i-1})) / h, där h är avståndet mellan punkterna. För högre ordningar används fler tidigare punkter. Exempelvis är den andra ordningens bakåtdifferens: f'(x_i) ≈ (3 f(x_i) - 4 f(x_{i-1}) + f(x_{i-2})) / (2h).

Inom tidsintegration används begreppet Backward Differentiation Formulas, BDF, som implicita multistep-metoder. Dessa metoder använder tidigare värden y_{n-1}, y_{n-2}, …, tillsammans med det aktuella värdet y_n och lösningen av ett implicit problem i varje steg. Den enklaste BDF-metoden är bakåt Euler, medan BDF2 är ett vanligt högre ordningens alternativ. Den generella formen är ofta uttryckt som sum_{j=0}^{k} α_j y_{n-j} = h β_0 f(t_n, y_n).

Användningar inkluderar lösning av styva differentialekvationer (stiff ODEs) och numerisk differentiation i signalbehandling eller simuleringar där stabilitet vid större tidssteg är viktigt. Fördelar är måttlig komplexitet och god stabilitet i implicita formuleringar; nackdelar inkluderar behovet av att lösa algebraiska problem implicit vid varje steg och begränsningar i stabilitet och ordning hos vissa BDF-scheman. Bakåtdifferensiering är därmed ett viktigt verktyg när data är tillgängliga bakåt i tiden och där stabilitet är avgörande.