axiomatiska

Axiomatiska metoder inom logik och matematik handlar om att konstruera formella system som bygger på ett fåtal grundläggande påståenden, axiom, och regler för logisk slutsats. Från dessa axiom härleds teorem genom bevis. Axiom används som utgångspunkt och behöver inte bevisas inom systemet. De bör vara tydliga och så få som möjligt; vanliga krav är att axiomsatsen är oberoende från de övriga axiom och att systemet är konsistent, det vill säga att man inte kan få både ett påstående och dess negation.

Historiskt har axiomatiska metoder spelat en central roll inom matematiken. Euclids geometri byggde på ett fåtal grundaxiom, och under 1800-talet utvecklades modern axiomatik som program för att axiomatisera matematiken i sin helhet. Gödel visade dock att varje tillräckligt starkt konsistent system som innehåller aritmetik inte kan vara fullt komplett och inte bevisa sin egen konsistens. Vanliga axiomatiska teorier i dag inkluderar Peano-aritmetik och Zermelo–Fraenkel-mängdteori med val (ZFC), vilka ofta används som grund för mycket av modern matematik.

Användningar och metodik: Axiomatiska tekniker används inom forskning i logik och set theory samt i datavetenskap och formell verifiering, där program och algoritmer specificeras och bekräftas inom ett formellt ramverk. Genom modellteori och relativ konsistens studeras vilka modeller som uppfyller axierna och hur olika val av axiom påverkar vilka satser som följer, vilket klargör antaganden och deras konsekvenser.