associativité

L’associativité est une propriété d’une opération binaire qui permet de regrouper les termes sans en changer le résultat. Pour une opération * sur un ensemble S, on dit que * est associative si, pour tous a, b et c dans S, (a * b) * c = a * (b * c). Cette propriété assure que le résultat ne dépend pas de l’ordre des parenthésages lors de l’évaluation d’une expression impliquant plusieurs occurrences de l’opération.

Exemples courants: l’addition et la multiplication sur les nombres réels ou entiers sont associatives: (a + b) + c = a + (b + c) et (a × b) × c = a × (b × c). La composition de fonctions est également associative: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h). La multiplication de matrices est associative: (AB)C = A(BC).

Certaines opérations ne sont pas associatives: la soustraction n’est généralement pas associative, car (a − b) − c peut différer de a − (b − c). De même, la division peut donner des résultats différents selon le regroupement.

Dans les structures algébriques, l’associativité conduit à des notions importantes: un semigroupe est un ensemble muni d’une opération associative; si l’on ajoute un élément identité, on obtient un monoïde; si chaque élément possède un inverse, on parle d’un groupe.

En informatique, l’associativité influence l’ordre d’évaluation et peut être exploité pour optimiser le calcul. Lorsque l’opération est associatrice, des regroupements différents donnent le même résultat, ce qui peut simplifier le traitement et l’optimisation du code.