Lassociativité

L'associativité est une propriété d'une opération binaire sur un ensemble. On dit qu'une opération ◦ est associative si, pour tous a, b et c dans l'ensemble, on a (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c). Cette règle permet de regrouper les éléments sans changer le résultat de l’opération.

Exemples utiles: l’addition sur les nombres réels est associative: (a + b) + c = a + (b + c). La multiplication de matrices est elle aussi associative: (AB)C = A(BC). La concaténation de chaînes est associative: (xy)z = x(yz).

À l’inverse, certaines opérations ne sont pas associatives. La soustraction n’est pas associative: (5 − 3) − 2 = 0 alors que 5 − (3 − 2) = 4. L’exponentiation n’est pas associée non plus: (2^3)^2 = 64 et 2^(3^2) = 512.

En informatique, l’associativité des opérateurs détermine le regroupement par défaut des opérandes lors de l’évaluation d’une expression sans parenthèses. Par convention, les opérateurs usuels comme l’addition et la multiplication sont souvent évalués de gauche à droite (left-associative), tandis que l’exponentiation est fréquemment définie comme right-associative dans de nombreux langages. Ces règles influencent le résultat des expressions et leur interprétation.

Structures algébriques: l’associativité est une propriété centrale des semigroupes (opération associative), des monoïdes (associativité + identité) et des groupes (avec inverses en plus). Elle permet, dans ces systèmes, de réorganiser et d’étudier le produit sans changer le résultat.