asíntota

En matemáticas, una asíntota es una recta que una curva se aproxima a medida que la variable crece sin límite o se acerca a un valor extremo, de modo que la curva no la alcanza en ese límite. Las asíntotas describen el comportamiento asintótico de funciones o curvas cuando se extienden hacia el infinito o se dirigen a una singularidad.

Existen tres tipos básicos. Una asíntota vertical x = c ocurre cuando, al acercarse a c, la función tiende a ±∞, es decir, lim_{x→c} f(x) = ±∞. Una asíntota horizontal y = L aparece cuando, para x que tiende a ±∞, la función se aproxima a un valor constante: lim_{x→±∞} f(x) = L. Una asíntota oblicua o diagonal es de la forma y = mx + b y se produce cuando, para grandes valores de x, la diferencia entre la curva y la recta tiende a 0; equivalente: lim_{x→±∞} [f(x) − (mx + b)] = 0. En muchos casos, m = lim_{x→±∞} f(x)/x y b = lim_{x→±∞} [f(x) − mx].

Ejemplos comunes. La función f(x) = 1/x tiene una asíntota vertical x = 0 y una asíntota horizontal y = 0, ya que conforme x se aproxima a 0, f(x) → ±∞, y conforme x → ±∞, f(x) → 0. Una razón racional como f(x) = (2x^2 + 3x + 1)/x posee una asíntota oblicua y = 2x + 3, ya que f(x) = 2x + 3 + 1/x y la distancia entre la curva y la recta tiende a 0 cuando x → ±∞. La hipérbola y = 1/x tiene dos asíntotas: x = 0 e y = 0.

Las asíntotas son útiles para entender el comportamiento límite de curvas y funciones, especialmente en el análisis de funciones racionales y en la geometría de curvas planas.