asíntotas

Las asíntotas son líneas rectas hacia las que se aproxima una curva en ciertos límites, sin necesariamente intersectarse con ella. Se clasifican según el límite al que la función se acerca.

Una asíntota vertical aparece en x = c cuando la función f(x) tiende a ±∞ al acercarse a c. En funciones racionales, suele ocurrir cuando el denominador se hace cero en x = c y el numerador no se anula en ese punto.

Una asíntota horizontal se da cuando, al ir x hacia ±∞, la función f(x) se aproxima a un valor finito L, es decir, lim_{x→±∞} f(x) = L. En funciones racionales, depende de los grados de los polinomios: si el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal es y = 0; si son iguales, es y = cociente de los coeficientes líderes.

Una asíntota oblicua (o deslizable) ocurre cuando, para x→±∞, la función se aproxima a una recta y = mx + b, es decir, lim_{x→±∞} [f(x) − (mx + b)] = 0 con m ≠ 0. En funciones racionales, esto suele suceder cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador.

Ejemplos: f(x) = 1/x tiene la asíntota vertical x = 0 y la horizontal y = 0. f(x) = (2x^2+3x+1)/x tiene una asíntota oblicua y = 2x + 3. f(x) = (x^2+1)/(x−1) tiene asíntota oblicua y = x + 1.

Las asíntotas describen el comportamiento asintótico de las curvas y no siempre la intersección con la gráfica.