approximationerna

Approximationerna är metoder för att ersätta komplexa eller opraktiska objekt med enklare representationer som är tillräckligt nära det sanna värdet i ett givet mått. De används inom matematik, naturvetenskap och teknik när exakta lösningar inte är tillgängliga eller är för svåra att använda.

Man kan skilja mellan olika typer av approximationer. Numeriska approximationer avser att bestämma numeriska värden som ligger nära det sanna värdet, exempelvis genom avrundning eller iterativa beräkningar. Analytiska eller funktionella approximationer uttrycks som polynom, rationella funktioner eller andra funktioner som är enklare att hantera; vanliga metoder är Taylor- och Maclaurin-serier, linjalisering och Fourier-serier samt Padé‑approximationer. Inom dataanalys används interpolations- och splinesmetoder samt minsta kvadrat-fits för att anpassa modeller till data. Statistiska approximationer bygger på data och ofta på antaganden om sannolikhetsmodeller.

Erfarenheten bedömer en approximation utifrån fel eller avvikelse, såsom absolut eller relativt fel; ofta talar man om ordning eller om resterande termer betecknade som O(h^n). Konvergens uppnås när avståndet mellan den approximativa representationen och sanningen minskar när vissa parametrar ändras.

Användningsområden inkluderar lösning av differentialekvationer, numerisk integration, simulering av fysiska processer, signal- och bildbehandling, samt dataanpassning och modellval. Approximationer utgör ett centralt verktyg när exakta lösningar saknas eller är opraktiska, och deras noggrannhet styrs av det tillämpade sammanhanget och toleransen för fel.