Zylinderschalen

Zylinderschalen, auch Shell-Methode genannt, ist eine Methode der Integralrechnung zur Bestimmung des Volumens von Rotationskörpern. Dabei wird der zu rotierende Bereich in dünne, annähernd zylindrische Schalen zerlegt. Jede Schale besitzt einen Radius, eine Höhe und eine Dicke; das Gesamtvolumen ergibt sich aus der Summe der Einzelvolumina der Schalen.

Für eine Rotation um die y-Achse gilt, wenn der Bereich durch y = f(x) und y = g(x) für x im Intervall [a,b] beschrieben wird. Mit Dicke dx, Radius r(x) = x und Höhe h(x) = f(x) - g(x) ergibt sich V = ∫_{a}^{b} 2π x [f(x) - g(x)] dx.

Bei Rotation um die x-Achse verwendet man horizontale Schalen. Falls der Bereich durch x-Grenzen x_L(y) und x_R(y) für y im [c,d] beschrieben wird, lautet V = ∫_{c}^{d} 2π y [x_R(y) - x_L(y)] dy.

Anwendung und Vorteile: Die Zylinderschalenmethode ist besonders nützlich, wenn der Radius der Schalen leicht zu beschreiben ist und die Höhen der Schalen sich aus einfachen Grenzfunktionen ableiten. Sie liefert oft kürzere Integrale als die Scheibenmethode, insbesondere bei Rotationen um die y-Achse. Allerdings kann sie in manchen Fällen weniger effizient sein, wenn die Grenzen sich besser diskret beschreiben lassen.

In der Literatur wird der Begriff Zylinderschalenmethode oft als Shell-Methode bezeichnet; er gehört zum Repertoire der Methoden zur Bestimmung von Volumina rotierten Körpern.