Rotationskörpern

Rotationskörpern (Rotationskörper) sind dreidimensionale Objekte, die durch Rotation einer Ebenekurve oder Fläche um eine Achse in ihrer Ebene entstehen. Die Achse kann eine Geradenlinie sein, um die rotiert wird; der erzeugende Rand bestimmt Form und Größe des Körpers. Typische Rotationskörper entstehen aus einfachen Generierfiguren: Rotiert man ein Rechteck um eine der Seiten, bildet sich ein Zylinder; rotiert man ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten, erhält man einen Kegel; rotiert man einen Kreis um seinen Durchmesser, entsteht eine Kugel; rotiert man einen Kreis um eine Achse, die den Kreis nicht schneidet, erhält man einen Torus.

Berechnungen: In vielen Fällen lässt sich das Volumen durch Integrale bestimmen. Beim Scheiben- bzw. Waschverfahren rotiert die Funktion y=f(x) von a nach b um die x-Achse; das Volumen ist V = π ∫_a^b [f(x)]^2 dx. Bei einer Hohlfigur mit äußeren Radius F(x) und innerem Radius G(x) gilt V = π ∫_a^b ([F(x)]^2 - [G(x)]^2) dx. Die Oberfläche eines Rotationskörpers ergibt sich aus S = 2π ∫ R(x) ds; im Fall einer Drehung um die x-Achse mit y=f(x) ist S = 2π ∫ f(x) sqrt(1 + (f'(x))^2) dx. Ein alternativer Ansatz ist Pappus' Theorem: Volumen = Fläche der Basis × Weglänge des Schwerpunktes der Basis während der Rotation.

Beispiele: Die Kugel mit Radius r hat V = 4/3 π r^3, Oberfläche A = 4 π r^2. Der Zylinder mit Radius r und Höhe h hat V = π r^2 h; der Kegel hat V = (1/3) π r^2 h. Die Torusvolumenformel lautet V = 2 π^2 R r^2.

Anwendungsgebiete: Formgebung in Ingenieurwesen, Fluiddynamik, Computer Graphics; in der Analysis dienen Rotationskörper oft zum Üben von Integrationsmethoden.