Zusammensetzungsverteilungen

Zusammensetzungsverteilungen beschreiben die Verteilung der Anteile der Bestandteile einer gegebenen Größe. Der Begriff wird in unterschiedlichen Fachgebieten verwendet und umfasst sowohl diskrete als auch kontinuierliche Formen sowie praktische Anwendungen in der Wissenschaft und Technik.

Diskrete Zusammensetzungen richten sich mit der Zahl der Bestandteile einer positiven Ganzzahl n auseinander. Eine Zusammensetzung von n ist eine Folge positiver ganzer Zahlen, deren Summe n ist. Die Anzahl solcher Zusammensetzungen beträgt 2^(n-1). In probabilistischen Modellen kann man Zufallszusammensetzungen durch zufälliges Setzen von Trennungen zwischen Einheiten erzeugen, wodurch sich eine Verteilung der Blockgrößen ergibt.

Kontinuierliche Zusammensetzungen betreffen Vektoren x = (x1, …, xk) mit xi ≥ 0 und Summe xi = 1, also Anteile, die eine Größe auf der Einheits-Simplexform verteilen. Solche Zusammensetzungsverteilungen werden häufig durch die Dirichlet-Verteilung beschrieben, eine Familie parametrisiert durch alpha = (alpha1, …, alphak) > 0. Wichtige Eigenschaften sind die Erwartung E[xi] = alpha_i / sum_j alpha_j und Variations-/Konzentrationsverhalten, das durch die Parameter festgelegt wird.

Anwendungen finden sich in Statistik, Biowissenschaften, Ökologie und Materialwissenschaften, wo Anteile oder Mischungen modelliert werden müssen. In der Kompositionsdatenanalyse (CoDa) wird besonderer Umgang mit der Einheitssummenbedingung und mit Log-Ratio-Transformationen erforderlich. Die Dirichlet-Verteilung dient dabei als standardmäßiges Modell kontinuierlicher Zusammensetzungsverteilungen.