Zeilenumformungen

Zeilenumformungen, auch als elementary row operations bezeichnet, sind Transformationen, die auf die Zeilen einer Matrix angewendet werden, um sie zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems zu verändern (bei einem augmentierten Matrix). Die drei grundlegenden Arten sind Zeilenvertauschung, Zeilenmultiplikation mit einem Nicht-Null-Skalaren und Zeilenaddition, das Hinzufügen eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Jede Operation besitzt eine Umkehroperation: Zeilenvertauschung ist selbst umkehrbar, Zeilenmultiplikation durch k ist durch 1/k umkehrbar, Zeilenaddition durch Subtraktion des entsprechenden Vielfachen rückgängig zu machen.

Eigenschaften: Zeilenumformungen lassen sich als linke Multiplikation durch invertierbare Zeilenoperationen-Matrizen verstehen. Sie erhalten die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems im augmentierten Fall, verändern aber die Lösungsmenge nicht. Die Ranghöhe einer Matrix bleibt unverändert. In Bezug auf Determinanten gelten folgende Regeln: Zeilenvertauschung multipliziert die Determinante mit -1, Zeilenmultiplikation mit k multipliziert sie mit k, während Zeilenaddition die Determinante nicht ändert.

Anwendungen: Sie werden in der Gaußschen Eliminierung bzw. Gauss-Jordan-Reduktion eingesetzt, um Matrizen in Zeilenstufenform oder reduzierte Zeilenstufenform zu bringen, Gleichungssysteme zu lösen, inverse Matrizen zu berechnen und Determinanten in geeigneten Fällen abzuleiten.

Begrenzungen: Numerische Stabilität und Kondition können eine Rolle spielen; in großen oder schlecht konditionierten Systemen können Rundungsfehler auftreten.