Zeilenersetzungen

Zeilenersetzungen bezeichnet in der linearen Algebra eine Klasse von elementaren Zeilenoperationen, bei denen eine Zeile durch die Summe dieser Zeile und eines Vielfachen einer anderen Zeile ersetzt wird. Damit gehören sie zusammen mit Zeilenvertauschungen und Zeilenskalierungen zu den drei Grundoperationen der Zeilenweise Transformation von Matrizen. Zeilenersetzungen dienen vor allem dem Umformen einer Matrix in eine Form, die das Lösen linearer Gleichungssysteme erleichtert.

Eigenschaften und Bedeutung: Eine Zeilenersetzung ändert die Lösung eines linearen Gleichungssystems nicht, da sie lediglich die Darstellung der Zeilen verändert, ohne neue Gleichungen einzuführen oder bestehende zu verlieren. Im Gegensatz zu Zeilenvertauschungen beeinflusst eine Zeilenersetzung das Vorzeichen oder die Skalierung der Determinante nicht; ihr Einfluss auf die Determinante ist somit neutral, während Zeilenvertauschungen das Vorzeichen der Determinante ändern und Zeilenskalierungen die Determinante mit dem Skalar multiplizieren. In der Praxis werden Zeilenersetzungen genutzt, um schrittweise Nullen unter oder neben der Hauptdiagonalen zu erzeugen und damit die Matrix in Zeilenstufenform oder reduzierte Zeilenstufenform zu überführen.

Anwendungen: Zeilenersetzungen sind zentrale Bestandteile des Gauß-Algorithmus zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, zur Bestimmung des Matrixrangs, zur Berechnung der Inversen einer Matrix und zur Vereinfachung von Matrizen in standardisierte Formen.

Beispiel: Gegeben sei die Matrix A = [ [1, 2], [3, 5] ]. Wende R2 <- R2 − 3·R1 an. Die neue Zeile R2 wird zu [0, −1], sodass A zu [[1, 2], [0, −1]] wird. Dies illustriert den Zweck der Zeilenersetzung im eliminierenden Vorgehen.