ZeilenStufenform

Zeilenstufenform, auch Zeilenstufenform oder Stufenform, ist eine Form einer Matrix, die sich durch elementare Zeilenoperationen aus einer gegebenen Matrix herstellen lässt. Sie besitzt drei Merkmale: Alle Nullzeilen befinden sich am unteren Rand. In jeder nicht-null Zeile ist das führende Element das erste Nicht-Null-Eintrag von links, und dieses führende Element einer unteren Zeile liegt weiter rechts als das der oberen Zeile. Alle Einträge unterhalb eines führenden Elements in derselben Spalte sind Null.

Das Führende muss nicht 1 sein. Wird es auf 1 normiert und die übrigen Einträge in dessen Spalte zu Null gemacht, spricht man von der reduzierten Zeilenstufenform (RREF).

Erzeugt wird die Zeilenstufenform durch Gauss’sches Eliminieren: Zeilenoperationen wie Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Nicht-Null-Konstante multiplizieren und eine Zeile durch eine Vielfache einer anderen Zeile ersetzen. Der Prozess umfasst Vorwärtselimination (Pivots setzen und darunter Nullern) und optional Rückwärtselimination, um näher an RREF zu kommen.

Anwendung: Sie dient zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch Rücksubstitution. Außerdem liefert sie den Rang der Koeffizientenmatrix und des erweiterten Matrize. Damit lässt sich die Konsistenz des Systems prüfen: Das System ist lösbar genau dann, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist; die Differenz der Ränge zählt die Freiheitsgrade.

Eigenschaften: Die Zeilenstufenform ist nicht eindeutig; verschiedene Folge von Zeilenoperationen können zu unterschiedlichen REF führen. Der Rang der Matrix ist jedoch invariant.