Zahlennachfolge

Zahlennachfolge, oft einfach Folge oder Sequenz von Zahlen, ist eine Zuordnung, bei der jedem natürlichen Index n ≥ 1 eine Zahl a_n zugeordnet wird. Eine Folge wird üblicherweise als (a_n)_{n∈N} angegeben. Die Glieder können explizit durch eine Formel a_n ausgedrückt sein oder rekursiv festgelegt werden, etwa durch eine Regel, die a_{n+1} aus a_n bestimmt.

Typen: Eine arithmetische Folge hat die Form a_n = a_1 + (n−1)d; eine geometrische Folge hat die Form a_n = a_1·r^{n−1} (r ≠ 0). Viele Folgen werden rekursiv definiert, z. B. die Fibonacci-Folge mit a_1 = 1, a_2 = 1 und a_n = a_{n−1} + a_{n−2} für n ≥ 3.

Grenzen und Konvergenz: Man untersucht das Verhalten der Glieder für große n. Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert L, falls für jedes ε > 0 ein N existiert, so dass |a_n − L| < ε für alle n ≥ N. Folgen können auch divergieren, z. B. unbeschränkt wachsen oder oszillieren. Monotonie (eine Folge ist entweder immer nicht fallend oder immer nicht steigend) und Beschränktheit sind häufige Eigenschaften.

Unterfolgen und Sätze: Zu einer unendlichen, begrenzten Folge gehört oft eine konvergente Unterfolge (Bolzano-Weierstraß). Teilfolgen ermöglichen weitere Analysen.

Anwendungen: Zahlennachfolgen spielen eine zentrale Rolle in Analysis, Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie dienen zur Approximation von Grenzwerten, zur Modellierung zeitlicher Entwicklungen oder als Grundlage für Reihen und Funktionen. Je nach Kontext werden Begriffe wie Grenzwert, Konvergenz, Monotonie, Beschränktheit, Teilfolge oder Unterfolge verwendet.