Wärmeleitfähigkeitstensors

Der Wärmeleitfähigkeitstensor ist ein second-rank tensor, der die Beziehung zwischen dem Wärmefluss q und dem Temperaturgradienten ∇T in einem Medium beschreibt. In der Notation gilt q = −κ · ∇T, wobei q der Wärmeflussvektor und κ der Wärmeleitfähigkeitstensor ist. κ ist eine 3×3-Matrix; seine Einträge κ_ij geben an, wie stark ein Gradient in Richtung j einen Wärmefluss in Richtung i verursacht. In isotropen Materialien reduziert sich κ auf einen Skalar k, sodass q = −k ∇T.

Eigenschaften: Das Tensor κ ist in der Regel symmetrisch (κ_ij = κ_ji) und positiv definit, was eine positive Entropieproduktion sicherstellt. Die Hauptachsen des Tensors bestimmen die Richtungen, in denen der Wärmefluss proportional zum jeweiligen Temperaturgradienten verläuft; dort ist κ diag(κ1, κ2, κ3). Off-Diagonalanteile zeigen Kopplungen zwischen Richtungen an und beschreiben, wie ein Temperatureffekt in einer Richtung zu einer Leitung in einer anderen Richtung beitragen kann.

Koordinatentransformation: Unter einer Koordinatenrotation transformiert κ gemäß κ' = R κ R^T. In inhomogenen oder anisotropen Medien variiert κ mit dem Ort, κ = κ(x).

Anwendungen: Der Tensor wird in Kristallen, Verbundwerkstoffen oder geologischen Materialien verwendet, um anisotrope Wärmeströme zu beschreiben. In der Praxis werden oft effektive Wärmeleitfähigkeitstensorsmodelle oder numerische Methoden eingesetzt, um die Leitfähigkeit eines heterogenen Mediums abzuschätzen (z. B. Hashin–Shtrikman, andere effektive Medium-Theorien).

Bezug zu anderen Größen: Die Wärmediffusivität α kann als α = κ/(ρ c_p) ausgedrückt werden; in anisotropen Medien wird dies als Tensorrelation formuliert, wobei ρ die Dichte und c_p die spezifische Wärme ist.