Wurzelfunktion

Wurzelfunktion ist ein Begriff aus der Mathematik, der Funktionen beschreibt, die die Wurzel einer Zahl liefern. Am bekanntesten ist die Quadratwurzel f(x) = sqrt(x) = x^(1/2). Allgemein spricht man von der n-ten Wurzel f_n(x) = x^(1/n).

Für reale Argumente gelten unterschiedliche Domänen je nach Parität von n. Die Quadratwurzel hat die Domäne [0, ∞) und den Wertebereich [0, ∞). Sie ist stetig, streng monoton wachsend und die Inverse der Quadratfunktion auf dem Nichtnegativbereich: sqrt(x^2) = |x| und (sqrt(x))^2 = x für x ≥ 0. Die Ableitung von sqrt(x) ist f'(x) = 1/(2 sqrt(x)) für x > 0, am Punkt x = 0 ist sie nicht definiert.

Allgemein, f_n(x) = x^(1/n), gilt:

- Wenn n gerade ist, dominiert x ≥ 0; der Wertebereich ist y ≥ 0.

- Wenn n ungerade ist, dominiert x ∈ R; der Wertebereich ist ganz R.

Die Funktion erfüllt y^n = x. Die Ableitung für x > 0 lautet f_n'(x) = (1/n) x^(1/n - 1). Für x < 0 existiert bei geraden n keine reelle Ableitung, bei ungeraden n gilt sie entsprechend ebenfalls in diesem Bereich. Die Wurzelfunktion ist insgesamt stetig; bei x = 0 ist sie für n > 1 nicht differenzierbar.

Im weiteren Sinne besitzt der komplexe Fall jeder n-ten Wurzel mehrere Lösungen; üblicherweise wird eine Hauptwurzel gewählt, wodurch die Funktion mehrwertig wird.

Anwendungen liegen in der Lösung von Gleichungen mit Wurzeln, in Modellen mit Potenzgesetzen und in der Inversenbildung von Potenzfunktionen.