Vormifunktsiooni

Vormifunktsioon (shape function) on finite element meetodisse (FEM) seotud funktsioon, mida seostatakse iga sõlmega ja mida kasutatakse suuruste ruumilise interpolatsiooni jaoks kogu elemendi ulatuses. Vormifunktsioonid määratakse referentsselemendil ja teisendatakse tegeliku elemendi koordinaatidesse, et võimaldada nodal väärtuste põhjal kogu piirkonna ligikaudset kirjeldust.

Peamised omadused on järgmised: iga vormifunktsioon N_i võtab oma sõlmel väärtuse 1 ja kõigil teistel sõlmedel 0 (Kroneckeri delta). Need funktsioonid moodustavad ühtsuse (partition of unity) ning on tavaliselt polünoomsed, sõltuvalt elemendi astmest. Enamasti kasutatakse neid lahendi esindamiseks u(x) ≈ sum_i N_i(x) u_i, kus u_i on sõlmede väärtused; vormifunktsioonide tuletised annavad gradientide ja lõikude arvutamiseks vajalikud tulemused.

Vormifunktsioonide konstruktsioon jaguneb tööriistade järgi. Kõige levinumad on Lagrange-vormifunktsioonid, mille korral N_i(x_j) = δ_ij; Hermite-vormifunktsioonid lisavad sõlme piirväärtustele lisaväärtuseid ja võivad tagada suurema järgu sujuvuse. Vormifunktsioonid on defineeritud referentsselemendil ja neid teisendatakse tegelike elemendi koordinaatide jaoks läbi transformatsiooni (Jacobian).

Kasutus ja tähendus. Vormifunktsioonide abil lahendatakse differentialvõrrandite numbriline probleem: u(x) läheneb via sum N_i(x) u_i, mis võimaldab koostada elementide stifness- ja massiive ning arvutada nende kaudu füüsikalisi suurusi. Need on FEM-i keskne osa erinevates rakendustes, nagu konstruktsioonianalüüs, soojus- ja massülekanded, akustika ning fluido­dünaamika.

Näide. 1D lineaarse elemendi puhul referentsselemend on [-1, 1] ning lineaarsete vormifunktsioonide puhul N_1(ξ) = (1 - ξ)/2 ja N_2(ξ) = (1 + ξ)/2. 2D kolmnurklineaarse elemendi puhul N_i on baryškihentrilised koordinaadid λ_i, kus iga N_i = λ_i ning N_i on 1 oma sõlmel ja 0 teistel.