Vormifunktsioonide

Vormifunktsioonid (shape functions) on lõplike elementide meetodile (FEM) keskne mõiste. Iga sõlme jaoks elemendis on määratud vormifunktsioon N_i(x), millega interpolitakse nodal väärtused kogu elemendi sees. Kui u_h(x) on lahendus, on see esitatav kui u_h(x) = sum_i N_i(x) u_i, kus u_i on lahenduse väärtus elemendi i-sõlmes. Vormifunktsioonide omadus, et N_i(x_j) = δ_ij, tagab nodal väärtuste täpse esitusviisi lõpp-ehitusel.

Vormifunktsioonid defineeritakse tavaliselt viide-elementil (viide-element) ja need seejärel rakendatakse isoparametrilise ülemineku kaudu tegelikule geomeetriale. Sama vormifunktsioonide komplekt kasutatakse nii geomeetria määramiseks kui ka lahenduse interpolatsiooniks, mis lihtsustab integreerimist ja derivaadi arvutamist. Isoparametriline lähenemine võimaldab ühe ja sama komplekti vormifunktsioone kasutada erinevate geomeetriatega elementide korral.

Omadused: vormifunktsioonidel on toetus (support), mis tavaliselt piiratakse ühe elemendiga; need on jagatud ühtivaks (partition of unity) ning neil on sageli mitte-negatiivne väärtus. Valitud vormifunktsioonide tüüp (nt polünoomiline, Lagrange’i vorm) määrab ligikaudse lahenduse kvaliteedi. Üldiselt suureneb polünoomi aste, kui vaja on suurem sujuvus ja täpsus. Lineaarsetele elementidele vastavad lihtsad N_i, kvadratuursete elementide puhul on N_i kõrgema astmega polünoomid.

Kasutus: vormifunktsioone kasutatakse lahenduste interpolatsiooniks ja osade kineetika, soojusjuhtivuse, akustika ning mehhaanika probleemide lahendamisel. Nad määravad nii geomeetria kui ka tegevuse aluseks olevad ruumilised omadused ning võimaldavad gerni.