differentialvõrrandite

Diferentsiaalvõrrandid on matemaatilised võrrandid, mis kirjeldavad muutuvate suuruste omavahelisi seoseid nende tuletiste kaudu. Neid esineb nii ühe kui mitme muutuja puhul. Tavaline diferentsiaalvõrrand (ODE) hõlmab ühte sõltuvat muutujat ja selle tuletist; osadifferentsiaalvõrrand (PDE) sisaldab mitut sõltuvat muutujat ja nende osatuletisi.

Võrrandi järjekorraks loetakse suurimat astet, milles esineb sõltuva muutuja tuletis. Võrrandid võivad olla lineaarsed või mittelineaarsed; lineaarsed võrrandid on tavaliselt lahendatavamad. Lisaks eristatakse homogeenseid ja inhomogeenseid kujusid.

Analüütilised lahendused hõlmavad meetodeid nagu eraldamine (eraldades muutujad) ja integraalfaktori kasutamine lineaarsetes ODE-des; PDE-de lahendused võivad kasutada muundatusi, separatsiooni meetodit ning piirangutingimustega analüüsi.

Existentsi- ja unikaalsusteoreemid annavad garantiid lahenduse olemasolust ja unikaalsusest teatud tingimustel. Näiteks Picard–Lindelöf teoreem näitab, et kui parempoolne funktsioon on Lipschitsi pidev piirkonnas, on algtingimustega IVP kohaliku lahendi olemasolu ja unikaalsus tagatud.

Rakendused hõlmavad füüsikat, tehnikaid, keemiat, bioloogiat, ökoloogiat ja majandust, kus diferentsiaalvõrrandid kirjeldavad muutumist ajas või ruumis: näiteks voolude ja ainete transport, populatsioonide dünaamika ning majanduslikud mudelid.

Arvutuslikult lahendatakse sageli Euler’i meetodiga, Runge‑Kutta meetoditega ja teiste ligipääsetavate algoritmidega, kui analüütilised lahendused puuduvad.