diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandid on matemaatika võrrandite klass, mis seob tundmatu funktsiooni ja selle tuletised. Eesmärk on leida funktsioon, mis rahuldab võrrandi kõigi lubatud väärtuste jaoks. Need võrrandid kirjeldavad muutuste dünaamikat ajas, ruumis või teistes sõltuvustes ja neid kasutatakse palju loodusteadustes, inseneriteaduses ja arvutusmodelleerimises.

Võrrandeid jagatakse peamiselt tavapärasteks diferentsiaalvõrranditeks (ODE-d) ja osadeks diferentsiaalvõrranditeks (PDE-d). ODE-d sisaldavad ainult üht sõltuvat muutujat ja tema tuletisi (nt dy/dx). PDE-d hõlmavad osalisi tuletisi mitmes muutujas. Lisaks eristatakse järku (esimene, teine jne), lineaarset vs mitte-lineaarset ning homogeenset vs inhomogeenseid liike.

Lahendusi leidakse erinevate meetoditega. Olulised teoreemid näitavad, millal võrrandil on lahendus ja kas see on unikaalne; näiteks Lipschitz tingimustel kehtiva Picard-Lindelöf teoreem. Need annavad alusena olemasolu- ja piirangu tulemusi ning juhatavad lahenduste otsimisel.

Analüütilised meetodid hõlmavad eraldusvõrrandeid, muutuja asendamist, lineaarvõrrandeid ja integraatori teguri kasutamist. Kui analüütilist lahendust pole või võrrand on keeruline, rakendatakse numbrilisi meetodeid, nagu Euler'i meetod ja Runge-Kutta meetodid.

Näited: esimese järgu ODE dy/dx = y annab lahenduseks y(x) = C e^x. Teise järgu võrrand y'' + y = 0 lahendab kujul y(x) = A cos x + B sin x. Rakendused hõlmavad füüsikat, keemiat, bioloogiat, inseneeriat ja majandust.