Võrrandeid

Võrrand on matemaatiline lause, milles on üks või mitu muutujat ning mille võrdsus peab kehtima. Lahendusena nimetatakse neid muutujate väärtuste kogumit, mis muudab võrrandi tõeliseks. Võrrandeid kasutatakse laialdaselt seoste kirjeldamiseks ja tundmatute suuruste leidmiseks ning need annavad teadmisi erinevate süsteemide toimimise kohta.

Võrrandeid saab liigitada mitmel viisil. Ühe muutuja lineaarvõrrand on kujul ax = b. Lineaarvõrrandite süsteemid hõlmavad mitut muutujat ja neid lahendatakse sageli maatriksi meetoditega. Polünoomvõrranded on kujul P(x) = 0, näiteks x^2 − 5x + 6 = 0. Diferentsiaalvõrrandid sisaldavad muutuja ja tema tuletiste seoseid ning lahendused on sageli funktsioonid y(x). Funktsionaalvõrrandid on võrrandid, kus seosed on määratud mõne funktsiooni kaudu.

Võrranditel võib olla 0, 1 või lõpmatult palju lahendusi, sõltuvalt koefitsientidest ja tingimustest. Lineaarvõrrandite korral lahenduste arv ja olemasolu sõltuvad koefitsientide maatriksi reast võrreldes täiendava maatriksi rividega. Lahendused leitakse tavaliselt Gaussi eliminatsiooni ja maatriksmeetoditega; kui koefitsientide maatriksi determinant on mitte-null, kehtib Crameri reegel. Polünoomvõrrandite lahendused leitakse faktorisatsiooni teel ning seejärel lahendatakse eraldi lihtsaimad juhtumid; kõrgemate astmete puhul kasutatakse sageli numerilisi meetodeid. Diferentsiaalvõrrandite lahendused sõltuvad tüübist ja tingimustest ning võivad olla üldlahendused või erilahendused.

Võrrandeid kasutatakse laialdaselt loodusteadustes, inseneriteadustes, majanduses ja arvutiteaduses, et mudeldada süsteeme, teha prognoose ja optimeerida tulemusi. Kokkuvõttes on võrrandid matemaatikas keskne tööriist seoste kirjeldamiseks ja tundmatute suuruste leidmiseks.