Funktsionaalvõrrandid

Funktsionaalvõrrand on matemaatika võrrand, kus lahenduseks on funktsioon ja võrrand kehtib kogu antud määramispiirkonna iga väärtuse korral. Lahenduseks võivad olla kõik funktsioonid, mis rahuldavad antud suhtelisust või omadust ühtlaselt kõigi sisendite puhul. Funktsionaalvõrrandid uurivad, millised funktsioonid täidavad kindlaid seoseid funktsiooni väärtuste vahel ning millised struktuurid ja omadused neist tulenevad.

Kõige tavalisemad näited hõlmavad: Cauchy’ võrrand f(x+y)=f(x)+f(y) (additiivsed funktsioonid), multiplicatiivne võrrand f(xy)=f(x)f(y), Jensen’i võrrand f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2 ning d’Alemberti tüüp võrrand f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y). Sellised võrrandid võivad kuuluda erinevatesse funktsionaalvõrrandite klassidesse ning lahendused võivad sõltuda määramispiirkonnast ning täiendavatest tingimustest.

Lahendusviisid ja lähenemised hõlmavad asendamist, väärtuste paigutamist, invariantside kasutamist, iteratsiooni ning aluse tüübide eristamist. Sageli on oluline lisatingimus, nagu pidevus, mõõdetavus, piiratus või monotoonia, mis piirab lahenduste hulka. Näiteks Cauchy’i võrrandi korral reaalarvude korral, kui funktsioon on pidev või mõõdetav, on lahendused lineaarseid vorme f(x)=cx; ilma täiendavate tingimusteta võivad esineda tõeliselt ebaharilikud lahendused (Hameli aluseid kasutavad).

Funktsionaalarvude uurimine sageli ühendab algebra, analüüsi ja funktsionaalsuse mõisted. Võrrandid annavad sageli sügavaid struktuurilisi järeldusi ning neid rakendatakse näiteks füüsikas, tõenäosusteoorias, informatsiooniteoorias ja arvutusmeetodites.