reaalarvude

Reaalarvud (tähis R) on arvude hulka kuulumisega, kuhu kuuluvad nii ratsionaalsed kui irratsionaalsed arvud. Neid saab esitada lõpmatu kümnendkujutisena ja nad moodustavad reaalarvude telje, millel on kindel järjekord ja mille vahel on määratletud kaugus kahe arvu vahel.

Reaalarvud moodustavad täieliku järjestatud välja, kus lisamine ja korrutamine on defineeritud ning millel on jagamine (kui jagaja ei ole null). Täielikkuse omadus tähendab, et iga mittetühja alamhulga ülemus omab piirväärtust; teisisõnu, reaalarvud sisaldavad kõiki vajalikke piire ning puuduvad „mittetäidetud” lõigud.

Ratsionaalsed arvud on reaalarvude hulgas tihedad, kuid irratsionaalsed arvud ei saa esitada lõpliku kümnendkujutisena. Reaalarvude kogum on suurem kui ratsionaalide ning selle kardinaliteet on continuum. Reaalarvud võimaldavad mõelda kaugusest ja piiridest ning neil on standardne absoluutväärtus ja distantside määratlus d(x,y)=|x−y|.

Konstruktsioonid ja mõisted: reaalarvud saab defineerida mitmel viisil, näiteks Dedekindi lõigude abil või Cauchy jada meetodil; mõlemad tagavad sama reaalarvude hulga. Lisaks kirjeldatakse reaalarve lõpmatu kümnendkujutisena, kus iga arv vastab sageli lõpmatule ja korduvile või mittetäielikult korratavile kümnendkujutisele.

Kasutus ja rakendused: reaalarvud on aluseks analüüsile, füüsikale ja inseneeriale ning mõõtmiste teooriatele. Tuntuimate näidetena on irratsionaalsed arvud nagu π ja ruutjuur 2; nad illustreerivad irratsionaalsuse ja täpsuse rolli matemaatikas ning loodusteadustes. Reaalarvud tähistatakse sageli R-ga.