Viscoselösningen

Viscoselösningen är en svag lösningstyp för vissa icke-linjära partiella differentialekvationer där klassiska differentiabla lösningar inte alltid existerar. Konceptet kallas ofta genom sin engelska beteckning viscosity solution och används framför allt för förstagrad- och andra ordningens PDE:er som ofta är degenererade eller mycket icke-linjära. Idén är att definiera en lösning via testfunktioner som berör den sökta funktionen från ovan eller nedan, i stället för att kräva att funktionen uppfyller PDE:n i klassisk mening över hela domänen.

Definitioner: Låt Ω vara ett öppet område i R^n och F: Ω×R×R^n×S^n → R en kontinuerlig operator, där S^n är mängden av symmetriska n×n-matriser. En kontinuerlig funktion u: Ω→R sägs vara en viskositet sublösning till F(x,u,Du,D^2u)=0 om för varje φ∈C^2(Ω) och varje x0∈Ω där u−φ har lokal maximalpunkt (dvs. u(x)−φ(x) ≤ u(x0)−φ(x0) nära x0) gäller F(x0,u(x0),Dφ(x0),D^2φ(x0)) ≤ 0. På liknande sätt är u en viskositet supersolution om för varje φ så att u−φ har lokal minimalpunkt ges F(x0,u(x0),Dφ(x0),D^2φ(x0)) ≥ 0. En viskositet lösning är en funktion som är både en sublösning och en supersolution.

Relation till klassiska lösningar och egenskaper: Om u är av klass C^2, blir villkoren ovan samma som att u uppfyller PDE:n i klassisk mening. Viskositetlösningar bärs fram av testfunktioner som “tittar in” i lösningen och hanterar singularitet och brist på differentiabilitet på ett stabilt sätt. Viktiga egenskaper är stabilitet under jämn(vanlig) gräns, och att lösningar ofta existerar och är unika under ett starkt jämförelsesatser. Existerande metoder inkluderar Perrons metod och vanishing viscosity-tekniker.

Tillämpningar och exempel: Viskositetsteorin är central för Hamilton–Jacobi- och kontrollteoretiska PDE:er, frontframdrivning i nivåuppgifter och bildbehandling. Vanliga modeller är eikonal-liknande ekvationer och olika inkompletta ellipiska eller degenerate ellipiska problem där klassiska lösningar saknas.

Historia: Begreppet viskositetlösning introducerades av Crandall och Lions på 1980-talet och har sedan dess blivit ett grundläggande verktyg inom modern PDE-teori.