Verlustprozesse

Verlustprozesse sind in der Versicherungs- und Risikotheorie stochastische Prozesse, die kumulative Verluste oder Schadenereignisse bis zu einem Zeitpunkt t abbilden. Typischerweise wird der Verlustprozess L(t) als Summe der bis t eingetretenen Schäden definiert: L(t) = sum_{i=1}^{N(t)} X_i, wobei N(t) die Anzahl der Schadenereignisse bis t und X_i die Schadenhöhe des i-ten Falls bezeichnet. N(t) wird häufig als homogener Poissonprozess mit Rate λ modelliert, während die X_i unabhängige, identisch verteilte Größen mit Verteilung F sind, unabhängig von N(t). Dann handelt es sich um einen zusammengesetzten Poissonprozess. Allgemeiner werden auch andere Zählprozesse (z. B. Renewal- oder Hawkes-Prozesse) sowie zeitvariante Raten verwendet.

Wichtige Kenngrößen sind E[L(t)] = λ t E[X] und Var(L(t)) = λ t E[X^2], sofern N(t) und die X_i unabhängig sind. Verlustprozesse dienen der Bewertung von Prämien, Rückstellungen und Solvenzrisiken. Typische Fragestellungen betreffen Ruinwahrscheinlichkeiten, etwa ψ(u) = P(inf_{s ≥ 0} (u − L(s)) < 0), oder das Kurz- und Langzeitverhalten der Verlustsummen. In der Praxis werden Verluste oft in Teilgrößen wie Schadenhöhe, Zeitraum oder Vertragseigenheiten unterschieden (z. B. Nettoschäden, Bruttoschäden, Selbstbeteiligungen).

Verlustprozesse liefern damit ein abstrahiertes, analytisch zugängliches Modell für die zeitliche Entwicklung von Versicherungsverlusten und dienen als Grundlage für Schätzung, Risikomessung und Kapitalplanung.