Vektorsysteme

Vektorsysteme bezeichnen in der Mathematik Sammlungen von Vektoren innerhalb eines Vektorraums. Sie dienen dazu, Vektoren zu zerlegen, den Raum zu beschreiben und Koordinatendarstellungen zu ermöglichen. Ein Vektorsystem wird als Basis bezeichnet, wenn es den Vektorraum erzeugt und dabei linear unabhängig ist. Solche Basissysteme ermöglichen eine eindeutige Darstellung jedes Vektors als Linearkombination der Basisvektoren.

Für einen endlichen Vektorraum V über dem Körper F besitzt jede Basis dieselbe Anzahl von Vektoren, die Dimension von V. Umgekehrt ist jedes Vektorsystem, das den Raum erzeugt, eine Erzeugendensystem, und wenn es zusätzlich linear unabhängig ist, bildet es eine Basis. Mit einer Basis B = {b1, ..., bn} erhält jeder Vektor v ∈ V eine eindeutige Koordinate (v1, ..., vn) mit v = Σ vi bi. Die Koordinaten bilden zusammen mit der Basis das Koordinatensystem des Raums. Verschiedene Basen liefern unterschiedliche Koordinatendarstellungen, verbunden durch eine Change-of-Basis-Matrix.

Beispiele: Im R^3 bildet die Standardbasis e1, e2, e3 eine Basis. Das System der Monome {1, x, x^2, ..., x^n} bildet eine Basis des Polynomraums bis Grad n. In innerproduktiven Räumen kann man orthonormale Basen wählen, etwa durch das Gram-Schmidt-Verfahren.

Anwendungen finden sich in der Lösung linearer Gleichungssysteme, in Grafiktransformationen, Signalanalysen und der Funktionalanalysis. Vektorsysteme ermöglichen eine konsistente Repräsentation von Objekten in Koordinaten und erleichtern Transformationen zwischen verschiedenen Koordinatensystemen.