VektorfeldFunktion

VektorfeldFunktion bezeichnet in der Mathematik eine Funktion, die jedem Punkt x eines Gebietes U ⊆ R^n einen Vektor f(x) ∈ R^m zuordnet. Gängig ist der Fall m = n, also f: U → R^n, wobei ein Vektorfeld durch die Komponenten f1(x), …, fm(x) beschrieben wird. Oft spricht man von einem Skalarfeld, wenn m = 1, und von einem Vektorfeld, wenn m > 1.

Das Gebiet U ist üblicherweise offen. Ist jede Komponente fi stetig, so ist f stetig. Differenzierbarkeit bedeutet, dass der Ableitung, im Mehrdimensionalen als Jacobi- oder Jacobian-Matrix J_f(x) bezeichnet, existiert. J_f(x) ist eine m×n-Matrix aus partiellen Ableitungen, die die lineare Näherung f(x+h) ≈ f(x) + J_f(x) h liefert. Diese Matrix gibt die lokale Änderungsrate des Feldes wieder.

Beispiele für VektorfeldFunktionen sind das Geschwindigkeitsfeld v(x) eines Fluids, das an jedem Ort x die Geschwindigkeit angibt, das elektrische Feld E(x) im Raum oder Gravitationsfelder. Visuell wird ein Vektorfeld oft durch Pfeile im Raum oder durch Feldlinien dargestellt, die den Verlauf der Größenordnung und Richtung zeigen.

Wichtige Operationen umfassen Divergenz, Curl (Rotation) und, für Skalarfelder, den Gradienten. Die Divergenz div f beschreibt die Quellstärke eines Feldes, der Curl gibt die Rotation in drei Dimensionen an, und der Gradient ∇g eines Skalarfeldes liefert dessen räumliche Änderungsrichtung. Zwischen Vektorfeldern und Skalarfeldern bestehen zentrale Verknüpfungen über Integrale und Satztheoreme wie den Satz von Stokes und den Divergenzsatz.

VektorfeldFunktionen sind grundlegend in Physik, Ingenieurwesen, Simulationen und Visualisierung räumlicher Größenordnungen.