Vektfunksjon

Vektfunksjon, inntil en viss grad synonymt med vekten i analyse, refererer vanligvis til en ikke-negativ funksjon som brukes til å tillegge relative vekter eller betydning til ulike områder av et domene i matematiske beregninger. Ofte er funksjonen definert på et målerom eller et område i R^n, og den brukes til å modifisere målingen av andre funksjoner gjennom vekting av integraler og normer.

I praksis opptrer vekter i integrasjon som vekter eller mål: det er vanlig å betegne et vektet integral som ∫_D f(x) w(x) dx, der w er vekten. Dette gir opphav til vektede funksjonsrom som L^p_w(D), der normen er ∥f∥_{p,w} = (∫_D |f(x)|^p w(x) dx)^{1/p}. Vekter må ofte være målbare og non-negativ, og for norm-definisjon kreves gjerne at w>0 almost everywhere og at det finnes lokal integrabilitet. I mer avanserte områder, som harmonic analysis, studeres spesielle vektklasser kalt A_p-vekter som gir ønsket atferd til operasjoner som er avhengige av vekten.

Eksempler er viktige for forståelsen: w(x)=1 gir den uvekte, vanlige analysen; w(x)=|x|^α (med passende β‑antagelser) gir klassiske vektede rom på (0,1) eller (0,∞); Gaussianvekten w(x)=e^{-x^2} brukes i Hermite-polynomer og i sannsynlighetsfordelinger.

Bruk og pålitelighet: Vekter brukes i numerisk integrasjon (vektede kvadraturer), i statistikk og sannsynlighet (viktige vekter i estimators og i importrater), samt i løsning av differensiallikninger og i Sturm–Liouville-problemer hvor ortogonalitet oppnås ved vekting.

Merknad: Begrepet kan også oppfattes som vektorfunksjon (funksjon som avbilder til vektorrom), men sammenheng avgjøres av kontekst.