vektorfunksjon

Vektorfunksjon er en funksjon som tilordner en vektor i et euklidisk rom til hvert element i dens domene. Ofte er domenet et intervall av reelle tall, og avbildningen går til R^n, der n er dimensjonaliteten til vektorrommet. En vanlig form er r(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)), der hver xi er en skalarfunksjon av t. Når t representerer tid, beskriver r(t) en kurve eller bevegelsesbane i rommet.

Egenskaper og operasjoner: En vektorfunksjon er kontinuerlig hvis hver komponent xi er kontinuerlig; den er deriverbar hvis alle xi er deriverbare. Derivert av en vektorfunksjon er r'(t) = (x1'(t), x2'(t), ..., xn'(t)). Hvis t er tid, gir r'(t) hastigheten, og hastigheten er vektorenes lengde ∥r'(t)∥. Akselerasjonen er r''(t). Lengden av kurven mellom t0 og t1 er s = ∫_{t0}^{t1} ∥r'(t)∥ dt.

Parametrisering og kurver: En vektorfunksjon beskriver en parameterkurve i plan eller i rom. En funksjon r: R -> R^2 beskriver en planar kurve, mens r: R -> R^3 beskriver en romkurve. Eksempler på komponenter er r(t) = (x(t), y(t)) i to dimensjoner eller r(t) = (x(t), y(t), z(t)) i tre dimensjoner.

Eksempel: r(t) = (t, t^2, sin t) for t i R. Da er r'(t) = (1, 2t, cos t).

Anvendelser: Vektorfunksjoner brukes i fysikk og kinematikk for å modellere posisjon, fart og akselerasjon over tid, i computer graphics for å beskrive bevegelser og baner, samt i robotikk og ingeniørfag. Mer avanserte begreper inkluderer kurvatur κ(t) og torsjon i R^3, definert som κ = ∥r' × r''∥ / ∥r'∥^3 når ∥r'∥ ≠ 0.