Unvollständigkeitssätzen

Die Unvollständigkeitssätze sind grundlegende Ergebnisse der mathematischen Logik, veröffentlicht 1931 von Kurt Gödel. Sie betreffen formale Systeme, die konsistent und rekursiv axiomsierbar sind und ausreichend Arithmetik ausdrücken können (beispielsweise Peano-Arithmetik PA oder ZFC).

Der erste Unvollständigkeitssatz besagt: Wenn ein solches System konsistent ist, gibt es eine arithmetische Aussage, die weder beweisbar noch deren Negation beweisbar ist. Gödel konstruiert eine spezielle Aussage G, die im System weder bewiesen noch widersprochen werden kann; aus der meta-theoretischen Perspektive ist G wahr, sofern das System korrekt ist. Folglich ist das System unvollständig: Es gibt wahre Aussagen, die im System nicht beweisbar sind.

Der zweite Unvollständigkeitssatz lautet: Unter den üblichen Voraussetzungen kann das System nicht beweisen, dass es selbst konsistent ist. Das bedeutet, die Konsistenz des Systems kann nicht innerhalb desselben Systems bewiesen werden, sofern es tatsächlich konsistent ist.

Eine präzisierende Version, die Rosser-Unvollständigkeitssatz genannt wird, zeigt, dass bereits bloße Konsistenz genügt, wobei Gödels ursprüngliche Version eine stärkere Bedingung (ω-Konsistenz) verwendete. Bedeutung dieser Sätze ist, dass sie ein fundamentales Limit der formalen Beweisbarkeit widerspiegeln: Allgemeine Modelle der Mathematik liefern Wahrheit außerhalb der Reichweite jedes rekursiv axiomsierbaren, konsistenten Systems. Die Ergebnisse haben wesentliche Auswirkungen auf Hilberts Programm, das alle mathematischen Wahrheiten durch eine vollständige, konsistente Axiomatisierung erfassen wollte. Sie zeigen, dass in jeder ausreichend starken Theorie wahre, aber unbeweisbare Aussagen existieren.