Umhüllung

Umhüllung bezeichnet in der Mathematik allgemein die kleinste Menge einer festgelegten Familien von Mengen, die eine gegebene Menge enthält. Formal sei M eine Teilmenge eines Raums X, und F eine Familie von Teilmengen von X. Die Umhüllung U_F(M) ist das Schnitt aller S in F mit M ⊆ S. Damit ist U_F(M) die kleinstmögliche Menge aus F, die M enthält.

Ein bekanntes Beispiel ist die konvexe Hülle: Wählt man F als die Familie aller konvexen Mengen, dann ist conv(M) = U_F(M) die kleinste konvexe Menge, die M enthält. In der Geometrie und der Computergrafik dient die konvexe Hülle zur Bildung von Grenzformen, Bounding Volumes und Collision Detection. Ein weiteres Beispiel ist der Abschluss: Wählt man F als die Familie der abgeschlossenen Mengen eines topologischen Raums, dann erhält man cl(M) = U_F(M), die kleinste abgeschlossene Menge, die M enthält. Die Umhüllung liefert damit unterschiedliche, je nach Kontext sinnvolle „kleinste Behälter“-Eigenschaften für M.

Anwendungsgebiete reichen von Geometrie, Optimierung und Maschinellem Lernen bis hin zur Computergrafik, wo Umhüllungen genutzt werden, um Objekte grob zu begrenzen oder Daten zu vereinfachen. In der Theorie dient das Konzept der Umhüllung dazu, Strukturen einer Menge durch eine passende Familie von Mengen zu beschreiben und zu analysieren.

Begriffe und Synonyme: In der Literatur wird Umhüllung oft auch als Hülle, Umschließung oder Abschluss bezeichnet, je nach Kontext. Siehe auch Hülle, Abschluss, konvexe Hülle.