Täthetsfunktioner

Täthetsfunktioner, eller sannolikhetsdensitetsfunktioner, beskriver sannolikhetsfördelningar för kontinuerliga slumpvariabler. En täthetsfunktion f för en slumpvariabel X uppfyller två grundvillkor: f(x) ≥ 0 för alla x och integralen över hela reala axeln är 1, ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Sannolikheten att X ligger i intervallet [a,b] ges av P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Den kumulativa fördelningsfunktionen F(x) = P(X ≤ x) är F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt och F'(x) = f(x) där derivatan existerar. Täthetsfunktionen används för att beskriva hur sannolikheter fördelas över värdemängden och är definierad med avseende på Lebesgue-mått.

För flerdimensionella slumpvariabler X = (X1, ..., Xn) är den gemensamma täthetsfunktionen f_X(x1, ..., xn) sådan att ∫ f_X(x1, ..., xn) dx1...dxn = 1, och marginalfördelningarna erhålls genom att integrera över de övriga variablerna. Den kumulativa fördelningsfunktionen i flera dimensioner erhålls analogt genom att integrera densiteten över det aktuella området.

Vanliga exempel på kontinuerliga täthetsfunktioner är normalfördelningen, exponentialfördelningen, uniformfördelningen och Cauchy-fördelningen. Det finns dock oändligt många täthetsfunktioner som beskriver olika formler av spridning och lägesmått. Det är betydelsefullt att notera att en täthetsfunktion inte i sig är en sannolikhet, utan en funktion vars integrerade värden över intervall ger sannolikheter.