Tröghetsmomentet

Tröghetsmomentet är ett mått på en kropps motstånd mot förändring i rotation kring en given axel. Det beror på hur massan är fördelad i förhållande till axeln och beskriver hur mycket energi som krävs för att sätta kroppen i rotation med en viss vinkelhastighet.

Matematiskt definieras det som I = ∑ m_i r_i^2 för en kropp med diskret massfördelning, eller I = ∫ r^2 dm för kontinuerlig massa, där r är avståndet från axeln. För rotation om en axel är I beroende av axelns riktning; olika axlar ger olika värden. I en tre-dimensionell bild beskrivs tröghetsmomentet ofta av inertia tensor, I_ij = ∫ (r^2 δ_ij − x_i x_j) dm. Dess egenvärden ger de primära tröghets momenten runt kroppens huvudaxlar.

Parallel axis-teoremet säger att I = I_cm + M d^2, där I_cm är tröghetsmomentet kring en axel genom masscentrum, M är kroppens totala massa och d är avståndet mellan axlarna.

Exempel på vanliga former: en tunn ring av massa M och radie R har I = M R^2 kring sin symmetriaxel; en solid disk med samma M och R har I = (1/2) M R^2. En solid sfär kring en axel genom centrum har I = (2/5) M R^2. En plan platta med måtten a × b kring en axel normal mot planet har I = (1/12) M (a^2 + b^2).

Användning: tröghetsmomentet är centralt i mekanik och dynamik och kopplar samman moment och vinkelhastighet via L = I ω samt kinetisk energi E_k = (1/2) I ω^2. Beräkningar görs ofta genom integrering eller tabeller för vanliga former.