Tröghetsmomenten

Tröghetsmomenten är ett mått på ett föremåls motstånd mot förändringar i dess rotationsrörelse kring en vald axel. De beror på hur massan är fördelad i kroppen och på avståndet till rotationsaxeln.

För ett system av partiklar är tröghetsmomentet I = sum m_i r_i^2, där r_i är avståndet från partikelns position till rotationsaxeln. För en kontinuerlig kropp är I = ∫ ρ(r) r^2 dV. Mer generellt används tröghetstensoren I_ij = ∫ (r^2 δ_ij − x_i x_j) dm; dess egenvärden är de primära momenten av tröghet och riktningarna är de primära axlarna.

Parallellaxel-satsen säger att I_about_axis = I_cm + M d^2, där d är avståndet mellan axlarna och M är kroppens totala massa. Den rekirkulerade energin vid rotation ges av T = 1/2 I ω^2 för rotation om en axel, eller mer allmänt T = 1/2 ω^T I ω.

Vanliga former: för en solid cylinder eller skiva genom centralaxeln är I = 1/2 M R^2; för en tunn cylindrisk ring kring samma axel är I = M R^2; för en solid sfär är I = 2/5 M R^2; för en rektangulär platta med längderna a och b och en axel genom centrum vinkelrätt mot planet är I = 1/12 M (a^2 + b^2).

Användningarna av tröghetsmomenten innefattar analys av rotation i mekanik och dynamik, gyroskopisk stabilitet samt design av roterande maskindelar. Inom fysiken relateras de till begrepp som inertia och inertia-tensor, och de spelar en central roll vid beräkningar av rörelse och stabilitet.