Trennflächen

Trennflächen bezeichnen Flächen, die einen Raum in mindestens zwei getrennte Bereiche aufteilen. In der Mathematik, insbesondere in der Topologie und Geometrie, ist damit eine Teilmenge S eines Raumes X gemeint, deren Entfernung X \ S in mindestens zwei Zusammenhangkomponenten zerfällt. In Euclid-Räumen R^n sind (n−1)-dimensionale Unterflächen typische Trennflächen; so teilt zum Beispiel eine Ebene in R^3 den Raum in zwei Halbräumen, und eine Sphäre S^2 trennt R^3 in Innen- und Außenbereich.

Wichtige Eigenschaften und Beispiele: Eine kompakte, eingebettete (n−1)-Mannigfaltigkeit in R^n besitzt oft die Eigenschaft, den Raum zu separieren. Der Jordan–Brouwer-Abtrennungssatz besagt, dass eine solche geschlossene, zusammenhängende Trennfläche den Raum in genau zwei zusammenhängende Regionen teilt. Praktisch bedeutet dies, dass einfache geschlossene Flächen in Raumgeometrien als Grenze zwischen verschiedenen Bereichen dienen können.

Anwendungen: In der reinen Geometrie, CAD und Netzbilding dienen Trennflächen als Grenzflächen zwischen Objekten oder Teilvolumina. In der Materialwissenschaft und Geologie bezeichnen Trennflächen Schnittstellen zwischen Phasen, Körnern oder Gesteinsfraktionen, an denen Eigenschaften wie Energie, Spannungen oder Diffusion auftreten. Das Konzept ist auch grundlegend für Segmentierung, Oberflächenmodellierung und die Analyse von Grenzstrukturen in Computational-Geometry-Anwendungen.

Siehe auch: Grenzfläche, Grenze, Segmentierung, Innenraum und Außenraum.