Transportgleichungen

Transportgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung von Größen, die durch Transportprozesse wie Advektion oder Strahlung bewegt werden. Sie basieren auf Erhaltungssätzen und modellieren, wie Mengenwerte entlang bestimmter Bahnen oder Richtungen weitergetragen werden.

Eine allgemeine lineare Transportgleichung für eine skalare Größe u(x,t) hat die Form

∂t u + a(x,t)·∇u + c(x,t)u = S(x,t),

wobei a der Transportfluss, c eine Dämpfungs- oder Verstärkungsrate und S eine Quelle darstellt. In konservativer Form lautet sie

∂t u + ∇·(a(x,t)u) = S.

Ein einfaches Beispiel ist die eindimensionale Advektion mit konstanter Geschwindigkeit c:

∂t u + c ∂x u = 0.

Die Lösung ist u(x,t)=u0(x-ct); die Werte dieser Größe bleiben entlang der Charakteristiken x-ct konstant.

Zu den verbreiteten Varianten gehört die Konvektions-Diffusions-Gleichung, die neben dem Transport auch Streuung berücksichtigt:

∂t u + a·∇u = D Δu + S,

mit D als Diffusionskoeffizient. Sie beschreibt neben der Durchtransportwirkung auch die gleichzeitige Streuung in der Materie oder dem Medium.

Weitere wichtige Formen finden sich in der Boltzmann-Transport-Gleichung (Kinetik) für die Verteilungsfunktion f(x,v,t) inklusive Stoßoperatoren, sowie in der Strahlungstransportgleichung, die die spektrale Intensität I(x, n, t) entlang Richtungen n beschreibt und Absorption, Emission sowie Streuung berücksichtigt.

Typische Lösungsmethoden umfassen die Methode der Charakteristika, Finite-Volumen- oder Finite-Differenzen-Verfahren sowie spezielle Näherungen wie Diskrete-Ordnungen-Verfahren (S_N) bei radiativer Transportrechnung. Anwendungen finden sich in der Strömungsmechanik, Meteorologie, Neutronen- und Radiativtransport, sowie in der Halbleiterphysik.